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振動(dòng)力學(xué)中的建模問(wèn)題
發(fā)布時(shí)間：2021-03-11 瀏覽：1391次
振動(dòng)研究中的首要環(huán)節(jié)是力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型的建立。
振動(dòng)分析中一般都要通過(guò)測(cè)試與理論分析來(lái)建立力學(xué)模型。經(jīng)過(guò)不斷地修正，使一些工程中的振動(dòng)問(wèn)題獲得更精確的力學(xué)模型（理論的、數(shù)值的或?qū)嶒?yàn)的力學(xué)模型）。對(duì)于一臺(tái)機(jī)器或一種工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析，首要的步驟是如何建模。由于它們本身組成的復(fù)雜性，外界載荷的復(fù)雜性、多樣性（相對(duì)靜載荷而言）及不可預(yù)見(jiàn)性（風(fēng)載荷、地震載荷），為此建立振動(dòng)問(wèn)題力學(xué)模型時(shí)，必須根據(jù)需要解決的問(wèn)題來(lái)考慮研究對(duì)象以及外界對(duì)它的作用，以便簡(jiǎn)化為一個(gè)計(jì)算所用的力學(xué)模型。例如，對(duì)高層建筑作地震反應(yīng)分析時(shí)，根據(jù)所研究的對(duì)象特點(diǎn)不同所建立的計(jì)算力學(xué)模型也不同。
剛性樓蓋高層建筑對(duì)采用現(xiàn)澆鋼筋混凝土樓板的體型規(guī)則的高層建筑，由于樓蓋的水平剛度很大，在確定結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性（頻率、主振型）時(shí)，可采用串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)。
非剛性樓蓋高層建筑對(duì)采用鋼筋混凝土預(yù)制樓板的高層建筑以及體型復(fù)雜的高層建筑，需要考慮地震作用下各層樓蓋所產(chǎn)生的水平變形，因此在確定結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性時(shí)，宜采用串并聯(lián)質(zhì)點(diǎn)。
偏心結(jié)構(gòu)高層建筑結(jié)構(gòu)存在偏心時(shí)，即使在地震單向平動(dòng)分量作用下，也會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。此時(shí)若采用串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)系作為其力學(xué)模型，就不可能體現(xiàn)出這種扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的效果，而需采用串聯(lián)鋼片作為偏心結(jié)構(gòu)高層建筑的振動(dòng)分析力學(xué)模型。該模型中每層鋼片具有兩個(gè)正交的水平位移和一個(gè)轉(zhuǎn)角，共三個(gè)自由度，。眾所周知，不管機(jī)器或結(jié)構(gòu)物會(huì)產(chǎn)生怎樣的振動(dòng)形式，其主要的原因在于其本身的質(zhì)量（慣性）和彈性。阻尼則使振動(dòng)抑制。從能量觀點(diǎn)出發(fā)，質(zhì)量可儲(chǔ)存動(dòng)能，彈性可儲(chǔ)存勢(shì)能，而阻尼則消耗能量。當(dāng)外界對(duì)系統(tǒng)做功時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)量吸收動(dòng)能而獲得運(yùn)動(dòng)速度，彈性儲(chǔ)存變形而具有使系統(tǒng)恢復(fù)到原來(lái)狀態(tài)的能力。由于能量不斷地變換就使系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如果沒(méi)有外界始終不間斷地給系統(tǒng)質(zhì)量輸入能量，那么，由于阻尼存在而消耗其能量，將使振動(dòng)趨于停息。由此可見(jiàn)，質(zhì)量、彈性和阻尼是振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型的三要素。
所有實(shí)際機(jī)器和結(jié)構(gòu)物元件的質(zhì)量和彈性皆是連續(xù)分布的。若將實(shí)際上是連續(xù)分布的參數(shù)（如高層建筑、橋梁、齒輪和齒輪軸等）簡(jiǎn)化成具有若干集中質(zhì)量并由相應(yīng)的彈簧或彈性桿和阻尼器聯(lián)結(jié)在一起的系統(tǒng)，此時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型就有連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)兩種不同的計(jì)算力學(xué)模型。
可見(jiàn)，在振動(dòng)分析中，力學(xué)模型的建立需注意以下幾點(diǎn)：
（1）根據(jù)研究目的，即需要解決什么問(wèn)題。對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，找到其特點(diǎn)。
（2）分清外界對(duì)研究對(duì)象的作用，判別是確定載荷，還是不確定載荷。在線性振動(dòng)中，將不討論不規(guī)則載荷，這種載荷的作用將在隨機(jī)振動(dòng)書(shū)籍中專門(mén)解決。
（3）考察研究對(duì)象是以空間、還是平面問(wèn)題來(lái)進(jìn)行研究；是以離散、還是連續(xù)系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行解決；是以一個(gè)自由度、還是多個(gè)自由度系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行處理。當(dāng)力學(xué)模型建立之后，需建立系統(tǒng)參數(shù)（質(zhì)量、彈性、阻尼）、激勵(lì)及響應(yīng)三者之間的關(guān)系式，即數(shù)學(xué)表達(dá)式——運(yùn)動(dòng)微分方程式。
根據(jù)理論力學(xué)中的牛頓第二定律、動(dòng)力學(xué)普遍定理、動(dòng)靜法或拉格朗日方程建立離散系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。另外，再考慮材料力學(xué)中的單元、變形等概念，對(duì)連續(xù)系統(tǒng)建立運(yùn)動(dòng)微分方程。
對(duì)離散系統(tǒng)所建立的振動(dòng)微分方程一般為二階常微分方程。當(dāng)系統(tǒng)為多自由度系統(tǒng)時(shí)，則為二階聯(lián)立微分方程組。對(duì)連續(xù)系統(tǒng)所建的振動(dòng)微分方程一般為偏微分方程。由于微分方程是系統(tǒng)振動(dòng)行為的數(shù)學(xué)描述，為此根據(jù)微分方程人們便可清楚地了解其運(yùn)動(dòng)類型。這樣，若運(yùn)動(dòng)微分方程是常微分方程，那么系統(tǒng)一定是集中質(zhì)量系統(tǒng)，即離散系統(tǒng)。若運(yùn)動(dòng)微分方程是偏微分方程，那么系統(tǒng)一定是連續(xù)分布參數(shù)系統(tǒng)，即連續(xù)系統(tǒng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)微分方程是其次時(shí)，系統(tǒng)一定作自由振動(dòng)，即在初始激勵(lì)后以系統(tǒng)的恢復(fù)力進(jìn)行振動(dòng)。若運(yùn)動(dòng)微分方程非其次的，則系統(tǒng)做受迫振動(dòng)，即在系統(tǒng)上作用外激勵(lì)，系統(tǒng)受干涉力進(jìn)行振動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)微分方程是線性的，那么系統(tǒng)為線性的；若運(yùn)動(dòng)微分方程是非線性的，則系統(tǒng)為非線性的。
從振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的自由函數(shù)的形式也可以判定系統(tǒng)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的形式。若為簡(jiǎn) 函數(shù)，則系統(tǒng)的響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)）也是簡(jiǎn)函數(shù)；若為任意周期函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也一定是任意周期函數(shù)；若為脈沖函數(shù)，那么，系統(tǒng)一定是瞬態(tài)振動(dòng)；若為隨機(jī)函數(shù)，則系統(tǒng)一定是隨機(jī)振動(dòng)。
求解微分方程是一件較為復(fù)雜的工作。對(duì)線性微分方程而言，一般對(duì)一、二個(gè)自由度系統(tǒng)，可用經(jīng)典方法求得封閉解，對(duì)高階線性微分方程需借用線性代數(shù)的方法，將聯(lián)立微分方程化為聯(lián)立代數(shù)方程，編寫(xiě)計(jì)算程序在計(jì)算機(jī)上求解，以得出其近似解。對(duì)于偏微分方程將應(yīng)用數(shù)理方程的方法，將偏微分方程化為常微分方程，并配合邊界條件進(jìn)行求解。資料來(lái)源于振動(dòng)力學(xué)作者高 淑 英，沈 火 明
